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L'equilibratura del manovellismo
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DECEMBER 27th, 2018
Panoramica top
Considero il seguente schema semplificato di un meccanismo biella-manovella:
Ho due vincoli, il perno di banco (l'albero motore) e l'accoppiamento prismatico (il cilindro). Tale sistema è sottoposto a due forze esterne, la pressione dei gas sul pistone FG e la coppia M. Il pistone compie un moto di traslazione, il manovellismo compie un moto di rotazione attorno al perno di banco, e la biella compie un moto di rototraslazione. Il moto della biella è complicato, risulta conveniente utilizzare le "masse di sostituzione". Sostituisco cioè la massa della biella con più masse disposte opportunamente, lo posso fare a patto che le nuove masse abbiano:
- Stesso centro di massa;
- Stessa massa equivalente;
- Stesso momento d'inerzia rispetto al centro di massa.
Allora ogni corpo rigido può essere rappresentato da 4 masse equivalenti. Alla biella ne bastano 3, una in corrispondenza del baricentro, una massa rotante (solidale alla manovella) e una massa traslante (solidale al pistone). La massa baricentrica compie ancora una traiettoria complicata, rappresentiamo allora solo due masse alle estremità e una inerzia di sostituzione, ovvero un inerzia aggiuntiva che serve a far coincidere l'inerzia delle due masse con quella iniziale della biella. Volendo semplificare ulteriormente il problema, elimino anche questa inerzia di sostituzione mantenendo solo le due masse, l'errore che si commette è piccolo. La manovella è ora composta dalla sua massa più la massa della biella. Posizionando una opportuna massa ad una opportuna distanza, opposta rispetto alle masse manovella + biella, si bilancia il sistema. Considero adesso le forze esterne: La forza che spinge in basso il pistone, spinge in alto il blocco motore, per cui è equilibrata. Se considero che il motore ruoti a velocità costante, la coppia è costante. La traslazione della massa del pistone più la massa traslante della biella sono l'unica fonte di vibrazione. Rappresento il sistema in questo modo:
Si tratta di un oscillatore semplice eccitato da forzante armonica. Calcolo la distanza tra il perno di banco e il pistone:
yR = r*cos(θ) + (l2-r2*sin(θ))0.5
Che posso riscrivere come:
yR = r*cos(ωt) + (l2-r2*sin(ωt))0.5
- yR = distanza perno di banco - pistone;
- r = raggio di manovella;
- θ = angolo di manovella;
- l = lunghezza della biella
Questa funzione è sviluppabile in serie di Fourier. La prima approssimazione rappresenta la prima armonica, ovvero le forze alterne del primo ordine:
yR = r*cos(ωt) + k
yR'' = -ω2r*cos(ωt)
Un motore boxer, o un 4 cilindri in linea, hanno queste forze perfettamente equilibrate. Nel caso di un monocilindrico, si può equilibrare aggiungendo una forza uguale e contraria. Si tratta di una forza alterna, può essere creata da due masse controrotanti sbilanciate. Una delle due si crea aggiungendo massa alla manovella, poi si aggiunge un albero controrotante avente una massa sbilanciata pari a quella aggiunta alla manovella. La seconda approssimazione in serie di Fourier rappresenta le forze alterne del secondo ordine. Trattandosi di uno sbilanciamento a frequenza doppia rispetto a quella di rotazione dell'albero motore, può essere bilanciato con alberi ruotanti a velocità doppia. In motori monocilindrici non si fa mai, ma può essere fatto in motori a 4 cilindri.
Bibliografia top
- Lezioni dal corso universitario di meccanica delle vibrazioni
- Mechanical vibrations, J.P. Den Hartog, Dover Publications Inc., 1984
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