L'EQUILIBRATURA DEI MOTORI


Sappiamo tutti che le manovelle dei motori servono ad equilibrare le vibrazioni, e che molti motori sono dotati di contralberi di bilanciamento che servono allo stesso scopo. Ma tecnicamente come funzionano questi sistemi? Consideriamo innanzitutto il caso più semplice, ovvero il monocilindrico.

Schema blocco motore


Nello studio dinamico considero il meccanismo nella sua interezza, lo schematizzo.

Schematizzazione biella manovella


I due vincoli sono dati dal perno di banco (punto O) e dall'accoppiamento prismatico. Avrò quindi una forza risultante sul perno di banco, che si dividerà nelle due componenti orizzontale e verticale, e una forza orizzontale sull'accoppiamento prismatico, ovvero sul pistone/cilindro. Ci saranno poi forze esterne, come la pressione dei gas sopra al pistone e la coppia resistente in O. Non considero le forze di gravità, perchè ininfluenti. Le forze d'inerzia possono essere pensate, per il principio di d'Alembert, come forze statiche equivalenti in equilibrio. Se considero il moto dei componenti, la manovella compie un solo movimento di rotazione, il pistone un solo movimento di traslazione, mentre la biella compie (considerando il moto del suo centro di gravità) un movimento di rototraslazione, complicato da rappresentare. Allora, risulta utile semplificare la biella attraverso le masse di sostituzione, ovvero masse opportunamente collocate in modo da avere la stessa dinamica del corpo continuo di partenza. Affinchè i due sistemi siano equivalenti, se sottoposti alla stessa forza esterna si devono comportare allo stesso modo, ovvero, se sottoposti ad una forza devono avere la stessa accelerazione (uguale massa), se sottoposti ad un momento devono avere la stessa accelerazione angolare (uguale momento d'inerzia), deve cioè soddisfare le equazioni:


Quindi, i due sistemi sono dinamicamente equivalenti se hanno:
  1. stesso centro di massa
  2. stessa massa equivalente
  3. stesso momento d'inerzia rispetto al centro di massa
Allora so che la somma delle masse di sostituzione deve essere uguale alla massa totale del componente continuo, il pezzo deve avere lo stesso centro di massa rispetto al componente originale, ovvero i momenti statici nell'asse x ed y devono essere gli stessi, e il momento d'inerzia rispetto al baricentro deve rimanere lo stesso. Ottengo quindi 4 equazioni in 4 incognite, significa che qualunque corpo rigido può essere schematizzato con 4 masse singole dinamicamente equivalenti. Nel caso della biella, le masse sono allineate (per via della forma stessa della biella), per cui sono sufficienti 3 masse per rappresentarla, che chiamo massa rotante (che ipotizzo solidale alla manovella), massa traslante (che ipotizzo solidale al pistone) e massa baricentrica.

Biella


La biella così ridotta però non semplifica il problema, infatti ho la massa baricentrica che ancora ha un moto rototraslante. Allora, semplicemente la elimino, relegando la massa totale della biella nelle due masse rotante e traslante, e aggiungo all'equazione una inerzia di sostituzione, ovvero un inerzia che non ha nessun significato fisico, ma serve per far tornare i conti che altrimenti non quadrerebbero. Infatti, se ho un componente continuo e lo semplifico con solo due masse, non posso avere lo stesso momento d'inerzia, ma sarà più alto perchè la massa totale ora è alle estremità e non è distribuita. In realtà, questa inerzia di sostituzione è poco influente nel calcolo, quindi posso semplicemente non considerarla e non sbaglio di molto. Così facendo, ho ridotto la biella a due sole masse, una traslante e una rotante. Allora, se considero ora la manovella, questa è composta dalla massa della manovella (mm) stessa più la massa rotante (mr). Se considero una velocità di rotazione costante, la somma di queste due masse fanno uno sbilanciamento, si usa allora mettere una massa mc per equilibrare l'albero ed evitare quindi che questo sbilanciamento si scarichi sui cuscinetti. La perfezione nell'equilibratura non è possibile, ma con questo accorgimento ci si arriva molto vicini.


Ora che la manovella è equilibrata, considero le forze attive esterne Fg e M, le forze d'inerzia del pistone (dato dalla somma della massa del pistone più la massa traslante) e il momento d'inerzia della manovella. Scrivo allora le tre equazioni di equilibrio statiche equivalenti.


La forza del gas spinge verso il basso il pistone, e verso l'alto il blocco motore, per cui le due forze si elidono e questa non da una forza esterna. Per un motore che ruota a velocità costante, l'accelerazione angolare della manovella è uguale a zero, e tra tutte le coppie presenti la coppia motore M è certamente preponderante, posso evitare di considerare le altre. Di conseguenza, l'unica fonte di vibrazioni è data dal movimento della massa traslante mp + mt.
Riconsidero ora l'intero blocco motore:


Se chiamo r raggio di manovella e k lunghezza di biella, yr è la distanza tra il perno di manovella e il pistone, allora ho:


Ma il punto O non è fisso, bensì vibra insieme al blocco motore. La yr quindi è la posizione relativa. Devo quindi riferirmi alla posizione assoluta, trovo l'equazione differenziale del moto che, risolta, mi da l'equazione:


Questa è periodica, quindi è sviluppabile in serie di fourier, avrò allora delle armoniche multiple di omega. La prima approssimazione di questa formula mi da la prima armonica:


Questa accelerazione, moltiplicata per la massa totale traslante, mi da le forze alterne del primo ordine. Per annullare queste vibrazioni, può essere intelligente creare una forza uguale e contraria, è il concetto del motore boxer, che presenta tutte le forze alterne equilibrate. Se invece ho un monociclindrico, vediamo come equilibrare queste forze. La forza alterna del primo ordine altro non è che una forza con direzione lungo l'asse di traslazione del pistone, e verso variabile da un massimo positivo a un massimo negativo. Posso idealmente immaginare questa forza come due vettori controrotanti di intensità pari alla metà della forza del primo ordine. Quindi, per compensare quella forza traslante, devo compensare due forze controrotanti. Una di queste, quella che ruota nello stesso verso di rotazione dell'albero motore, è molto facile da equilibrare, infatti si comporta come uno sbilanciamento statico e può essere equilibrato aggiungendo una massa alla manovella, in aggiunta alla mc gia aggiunta precedentemente. Per equilibrare il vettore che ruota in senso contrario, invece, la faccenda si fa più complicata. Infatti, sebbene il principio di equilibratura sia lo stesso, non ho componenti nel motore che ruotano in direzione contraria all'albero motore, con la stessa velocità di rotazione. Allora, si può aggiungere un contralbero di equilibratura, che assolve a questo compito, tuttavia l'aggiunta di questo particolare comporta sia un aumento di costo, sia un peggioramento delle prestazioni, visto che un componente in più che ruota non fa altro che aumentare il momento d'inerzia e gli attriti dell'albero motore, rallentandolo. Dunque, in molti casi si preferisce rimanere con queste forze non equilibrate, e si accettano le vibrazioni provenienti dal motore.


Allo stesso modo, si fa l'equilibratura delle forze alterne del secondo ordine, in questo caso però la frequenza è doppia, per cui bisognerebbe utilizzare dei contralberi che ruotano al doppio della velocità dell'albero motore. Nei monocilindrici, questo non si fa mai, nei quattro cilindri invece, che presentano le forze alterne del primo ordine gia equilibrate di natura, in certi casi vengono utilizzati due contralberi per equilibrare le forze del secondo ordine.



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