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Comportamento in rettilineo
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MAY 17th, 2019
Revisione del 03/05/2020
Introduzione top
Il comportamento in rettilineo è molto importante per un veicolo sportivo. In ogni pista, le curve sono collegate da tratti rettilinei. Quanto più velocemente vengono percorsi questi tratti, tanto minore sarà il tempo al giro. Serve ottimizzare la geometria in modo da massimizzare l'accelerazione e la decelerazione: è inutile avere un motore e freni potentissimi e i migliori pneumatici in commercio, se poi la geometria del veicolo non permette di sfruttare queste potenzialità.
Nello studio dell'accelerazione/decelerazione di un veicolo entrano in gioco numerosi aspetti, quali lo slittamento degli pneumatici (mi riferisco allo slittamento necessario ad ottenere la massima aderenza, non alla perdita di aderenza), il comportamento delle sospensioni, le coppie torcenti tra motore e telaio e/o il tiro catena (che determinano le variazioni di assetto), la rigidezza del telaio (che può innescare vibrazioni) eccetera.
E' molto più utile iniziare lo studio semplificando al massimo il modello, per capire i concetti di base. I dettagli possono essere aggiunti in un secondo momento.
Modello semplificato top
Togliamo tutto ciò che può distrarre: gli pneumatici non slittano e il loro coefficiente di attrito è costante, non ci sono sospensioni, non ci sono masse rotanti, non ci sono forze aerodinamiche, il telaio e ogni altro componente è un corpo rigido. Inoltre, studiamo il comportamento nel piano 2D. Tutte le forze agenti in questo veicolo sono riportate in figura 1.
Figura 1
Le forze che agiscono su questo veicolo sono:
- m*g, che rappresenta la forza peso;
- Ra e Rp sono le reazioni verticali anteriore e posteriore;
- Fa e Fp rappresentano le forze longitudinali applicate alle ruote (quindi, saranno le forze di trazione e frenata).
- h, l'altezza del baricentro;
- p, il passo;
- b, la distanza longitudinale del baricentro rispetto alla ruota posteriore.
Trovandosi in un piano, il veicolo ha tre gradi di libertà: uno spostamento longitudinale (il moto di avanzamento), uno verticale (può essere il movimento delle sospensioni, o la pendenza della strada) e una rotazione attorno al suo baricentro.
Possiamo scrivere un sistema di tre equazioni, che rappresentano l'equilibrio delle forze lungo ciascuno dei tre gradi di libertà:
Questo sistema può essere risolto in alcuni casi particolari:
Caso statico top
Il veicolo è fermo, non ci sono forze longitudinali. Si possono calcolare le reazioni a terra:
Questi valori possono essere misurati con due bilance, una per asse, e utilizzando una delle due formule sopra si può risalire al valore di b.
Supponiamo per esempio di avere una moto che pesa 200 kg, mettiamo una bilancia sotto la ruota anteriore e vediamo che pesa 90 kg. Il passo di questa moto è 1450 mm. Allora:
Accelerazione: caso generale top
Se i valori di Fa ed Fp sono noti, posso risolvere l'equazione:
Le forze Ra ed Rp hanno la stessa equazione del caso statico, con l'aggiunta di un termine: (Fa + Fp)*h/p. Tale termine viene definito Trasferimento di carico, e rappresenta la massa che, sotto l'effetto di una forza motrice, viene trasferita da un asse all'altro. Infatti, notiamo che esso è negativo per Ra e positivo per Rp: Nel caso in cui Fa + Fp sia positivo (cioè in accelerazione), l'avantreno si alleggerisce e il retrotreno si carica. Viceversa nel caso di frenata.
Analizzando l'influenza della geometria nel trasferimento di carico, si nota che questo sarà tanto maggiore quanto più alto sarà il baricentro e/o più corto sarà il passo.
Tramite queste equazioni, e conoscendo la geometria del veicolo, posso calcolare i carichi agenti sulle ruote e le forze di trazione. E' molto più interessante, però, calcolare le massime forze trasmissibili data la geometria, o ancora, ottimizzare la geometria in modo da ottenere l'accelerazione maggiore possibile.
Accelerazione: trazione posteriore top
Trascurando l'attrito, non ci sono forze agenti sulla ruota anteriore (Fa = 0). I due casi limite sono:
1. Impennamento
Se la ruota anteriore si solleva, Ra = 0. Trovo:
Se il veicolo ha una eccessiva tendenza all'impennamento, per aumentare la forza trasmessa (e quindi l'accelerazione) devo avanzare e/o abbassare il baricentro.
2. Perdita di aderenza
La forza massima che può essere trasmessa dalla ruota posteriore sarà pari al carico sulla ruota moltiplicato per il coefficiente di attrito μ. Risolvendo il sistema trovo le seguenti equazioni:
Se il veicolo ha una eccessiva tendenza alla perdita di aderenza, devo spostare il peso verso l'asse posteriore o aumentare l'altezza del baricentro.
Ottimizzazione della geometria
Le modifiche da effettuare alla geometria per ridurre la tendenza all'impennamento sono l'esatto opposto di quelle per ridurre la tendenza alla perdita di aderenza. Esiste allora un punto di incontro, nel quale l'impennamento e la perdita di aderenza avvengono contemporaneamente. In questo caso, l'accelerazione è quella massima. Uguagliando le forze Fp nei due casi trovo la geometria ottimale:
Accelerazione: trazione anteriore top
Analogamente al caso precedente, se trascuriamo l'attrito non ci sono forze longitudinali sulla ruota posteriore (Fp = 0). L'accelerazione limite è data dalla sola perdita di aderenza. La forza massima che può essere trasmessa sarà pari al carico sulla ruota anteriore moltiplicato per il coefficiente di attrito μ. Trovo le equazioni:
Se lo slittamento è eccessivo, posso spostare più peso sull'anteriore o abbassare il baricentro. In questo caso non esiste una geometria ottima, tanto più il baricentro viene avanzato e abbassato, tanto minore sarà lo slittamento.
Accelerazione: trazione integrale top
C'è sia la forza Fa che la forza Fp, e saranno pari al carico sulle rispettive ruote, moltiplicato per il coefficiente di attrito μ. Risolvendo il sistema trovo:
La cosa interessante è che l'accelerazione dipende solo dal coefficiente di attrito, quindi sarà sempre quella massima consentita dalle condizioni delle gomme e del terreno.
Accelerazione massima consentita dal motore top
Le forze calcolate fin'ora sono quelle ideali, supponendo che il motore sia in grado di far raggiungere alla ciclistica quei limiti. Si consideri adesso la forza massima che può trasmettere il motore. La potenza viene considerata constante, come se avessi un cambio a rapporti infiniti in grado di far girare il motore sempre al suo regime di potenza massima. La forza trasmessa a terra è:
La forza decresce con la velocità con andamento iperbolico. Esiste allora una velocità, che dipende dalla geometria del veicolo, sopra la quale il limite è dato dalla potenza del motore. Per trovare questa velocità, devo eguagliare l'equazione della forza massima che può trasmettere il motore con una delle equazioni limite viste in precedenza.
Prendiamo per esempio un auto a trazione anteriore, dal peso di 1000 kg, avente una potenza di 100 cv, con il 65% del peso sull'asse anteriore, un interasse di 2500 mm e con il baricentro a 600 mm da terra. Supponiamo che il coefficiente di attrito sia μ = 1:
Quest'auto, al di sopra di 51.5 km/h, non avrà più la tendenza a perdere aderenza, perché il limite sarà dato dalla potenza del motore.
Considerazioni sulla rapportatura del cambio
Un veicolo ideale è sempre in grado di esprimere la massima potenza a qualunque velocità. Come abbiamo appena visto, questo si traduce nell'equazione di una iperbole.
In un veicolo reale è sempre presente un cambio di velocità avente un numero finito di rapporti (ad eccezione dei cambi CVT, che si avvicinano molto al cambio ideale).
Il grafico sopra rappresenta la forza in funzione della velocità per un cambio a sei rapporti. La linea tratteggiata è l'iperbole a potenza costante, ovvero la forza che verrebbe prodotta se il veicolo fosse equipaggiato da un cambio a rapporti infiniti.
Anche assumendo che il cambio di marcia avvenga istantaneamente, la potenza media tra 0 e la velocità massima (corrispondente all'area sottesa alla curva diviso il range di velocità) è comunque inferiore a quella massima, e la potenza "persa" corrisponde all'area tratteggiata nel grafico. Questo discorso verrà approfondito più avanti.
Frenata limite top
Per trovare le equazioni limite, si procede esattamente allo stesso modo visto fin'ora per l'accelerazione, ma ora le forze Fa e Fp saranno negative.
Possiamo suddividere la frenata in 3 casi. Dal momento che le considerazioni sono le stesse già fatte per l'accelerazione, verranno riportate solo le equazioni finali.
Solo freno anteriore
Solo freno posteriore
Entrambi i freni
Ottimizzazione della geometria: frenata
Come nell'ottimizzazione della geometria in accelerazione, il limite si raggiunge quando il sollevamento della ruota posteriore e lo slittamento di quella anteriore avvengono contemporaneamente:
A seconda del coefficiente di attrito, si possono trovare le posizioni ottimali del baricentro.
Ottimizzazione della geometria: accelerazione + frenata
A meno che non si tratti di una gara di accelerazione, è bene che il veicolo venga progettato per minimizzare lo spazio sia di accelerazione, che di frenata. Uguagliando l'equazione della geometria ottima in accelerazione con quella in frenata, trovo:
La formula mi dice che la distribuzione dei pesi deve essere 50/50. Poi, per trovare l'altezza ottimale del baricentro, devo utilizzare il valore di b così trovato e reinserirlo in una delle due formule della geometria ottima (in accelerazione o in frenata), che a questo punto mi daranno lo stesso risultato.
Più il coefficiente di attrito è alto, e più il baricentro deve essere posizionato in basso.
Modello completo top
Introduzione top
Per poter calcolare l'accelerazione e la frenata reali di un veicolo, è necessario prendere in considerazione molte più variabili:
- Gli effetti aerodinamici, che comprendono:
- Resistenza, la forza che si oppone al moto;
- Portanza, la forza che tende a sollevare o schiacciare a terra il veicolo;
- Momento aerodinamico, che tende a far cabrare o picchiare il veicolo.
Dove ρ è la densità dell'aria, A l'area frontale, v la velocità del veicolo e C un coefficiente, che può essere CD (resistenza, "drag"), CL (portanza, "lift") o CM (momento).
- Il comportamento reale degli pneumatici: di solito, quando si parla di aderenza, si parla di coefficiente di attrito, ma gli pneumatici hanno un comportamento fortemente non lineare. Per poter generare aderenza devono slittare, e il coefficiente di attrito varia al variare dello slittamento. Si tratta di un argomento vasto, al quale dedicherò un articolo in futuro.
- La curva di coppia reale del motore.
- La rapportatura del cambio.
- La massa equivalente: nell'analisi semplificata precedente, per il calcolo dell'accelerazione è stata considerata solo la massa totale del veicolo, quella che può essere misurata con una bilancia. In realtà, il motore non deve solo far traslare la massa del veicolo più quella del pilota, deve anche mettere in rotazione tutti gli organi rotanti: ruote, alberi del cambio e manovellismo in primis. L'inerzia di questi organi può essere trasformata in una massa equivalente da aggiungere alla massa totale, come se l'intero veicolo fosse più pesante. Consideriamo, per esempio, un cilindro che sta ruotando e traslando (potrebbe essere una ruota), e calcoliamone l'energia cinetica totale:
Il rapporto tra la velocità di rotazione e la velocità di avanzamento di questo cilindro sarà pari al rapporto di trasmissione:
Se sostituiamo questa equazione con quella di partenza, troviamo:
Abbiamo trovato così il valore della massa equivalente, che dev'essere aggiunta alla massa totale del veicolo. Dal momento che è funzione del rapporto di trasmissione al quadrato, il suo valore sarà tanto maggiore quanto più corto è il rapporto, quindi l'influenza maggiore sarà nelle marce basse.
L'equazione risultante è non lineare, e per questo difficile (o impossibile) da risolvere analiticamente. Così, è stata inserita all'interno di un codice di calcolo che può essere fatto girare con i software GNU Octave o Matlab.
In questo codice, si sceglie la lunghezza del rettilineo, la velocità iniziale e la velocità finale. Il veicolo in esame, partendo dalla velocità iniziale voluta, verrà fatto accelerare e quindi frenare per poter raggiungere la fine del rettilineo alla velocità finale imposta. Verrà calcolato il tempo di percorrenza ed altri valori che possono essere di interesse, come la percentuale di apertura del gas, il carico sulle ruote eccetera. Negli esempi qui presentati, si è considerato in tutti i casi un rettilineo lungo 400m percorso a partire da una velocità di 60 km/h, e frenando poi fino a raggiungere nuovamente la velocità di 60 km/h al termine del rettilineo. Trovate il programma da scaricare nella sezione download.
Posizione ottimale del baricentro top
E' stato analizzato l'effetto della variazione del baricentro per quattro tipologie di veicoli:
- Moto 125cc;
- Moto 600cc;
- Auto a trazione anteriore;
- Auto a trazione posteriore.
Le due auto considerate hanno esattamente le stesse caratteristiche, con l'unica eccezione nella trazione. Nel caso delle moto, è stata fatta la prova sia utilizzando il solo freno anteriore, che utilizzando entrambi i freni. Tutte le prove sono state effettuate considerando un coefficiente di attrito μ = 1.
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Analizziamo prima di tutto i grafici delle due moto considerando l'utilizzo del solo freno anteriore. Nella moto da 600cc si vede chiaramente che il tempo minore si ottiene quando il baricentro è in un intorno molto ristretto della posizione calcolata considerando il modello semplificato. Viene confermato quanto già visto in precedenza.
Nella moto da 125cc, invece, c'è una "fascia" di posizioni ottime del baricentro. Quello che hanno in comune queste posizioni è il rapporto tra l'altezza del baricentro e la sua distanza dalla ruota anteriore. Rimane cioè costante l'angolo di trasferimento di carico in frenata. Questo è dovuto alla bassa potenza del motore: non avendo problemi di impennamento o di perdita di aderenza, la posizione del baricentro è quasi ininfluente in accelerazione, ma diventa importante in frenata.
Utilizzando entrambi i freni si amplia l'area di posizioni ottimali del baricentro. Questo perché, nella simulazione effettuata, la ripartizione della frenata è sempre quella ottimale, che permette di sfruttare tutta l'aderenza a disposizione. Naturalmente se il baricentro è troppo alto o avanzato, il limite è sempre rappresentato dal sollevamento della ruota posteriore, ed è per questo che l'area in alto a destra nei due grafici non cambia.
Nel caso delle auto, invece, i grafici non permettono molte considerazioni
Rapportatura ottimale del cambio top
Prendiamo nuovamente in considerazione il grafico visto in precedenza:
L'accelerazione massima si ha quando il motore lavora a potenza costante. In un cambio reale, avente un numero finito di rapporti, durante ogni cambio marcia il motore scende di giri e impiega del tempo prima di tornare al regime di potenza massima. Questo implica che la potenza media, durante l'accelerazione, è inferiore all'effettiva potenza massima del motore.
Per aumentare l'accelerazione dobbiamo cercare di ridurre quanto più possibile l'area tratteggiata nel grafico. Per farlo, possiamo:
- Aumentare il limite in fuorigiri del motore: più allungo ha un motore, e più saremo vicini al regime di potenza massima nel momento in cui avverrà il cambio marcia. Questo è il motivo per cui, per massimizzare l'accelerazione, il cambio marcia non va fatto al regime di potenza massima, ma in fuorigiri.
- Aumentare il numero di rapporti: più rapporti abbiamo e minore sarà il calo di regime tra un rapporto e il successivo. Questo però comporta anche un maggior impegno per il pilota, oltre al fatto che il cambio di marcia richiede del tempo (a meno di non utilizzare un cambio seamless), quindi non bisogna esagerare.
- Trovare una progressione matematica tra i rapporti che minimizzi l'area di perdita.
L'ultimo punto è il più interessante, e anche l'unico su cui si può solitamente lavorare in fase di progettazione (o elaborazione).
Per trovare la rapportatura ottimale sono state seguite due strade, entrambe che comportano l'utilizzo di un algoritmo di ottimizzazione genetica:
- Ricerca del tempo minore in accelerazione, utilizzando lo stesso programma usato per trovare la posizione ottimale del baricentro;
- Ricerca dell'area maggiore nel grafico rpm-velocità.
Dal momento che entrambi gli approcci hanno portato allo stesso risultato, verrà qui descritto solo il secondo. Tuttavia nella sezione download sono presenti anche tutti i risultati ottenuti con il primo.
E' stato scelto un algoritmo di ottimizzazione genetica perché, oltre ad essere semplice da implementare in un codice di calcolo, può ottimizzare un gran numero di variabili senza per questo aumentare la complessità computazionale. Il grafico rpm-velocità è il seguente:
E' stato considerato un grafico normalizzato, ovvero avente un regime di rotazione massimo pari a 1, e una velocità massima anch'essa pari a 1. Si vogliono trovare le velocità v1, v2, ......, vn (con n = numero di rapporti del cambio) che massimizzino l'area tratteggiata. Maggiore è l'area, maggiore sarà il regime di rotazione medio, e di conseguenza la potenza media durante l'accelerazione.
Trovate queste velocità, si è cercato se esse appartenessero a una qualche serie matematica conosciuta. E' stata trovata una corrispondenza quasi perfetta con la serie armonica generalizzata, avente esponente 1.6:
Dove Xn è il rapporto di trasmissione per ogni marcia. Conoscendo il primo e ultimo rapporto (che possono essere imposti dalla pista, per esempio) tutti gli altri possono essere calcolati usando questa formula.
Bibliografia top
- Motorcycle Dynamics, Vittore Cossalter, Grafiche Gemma Borgoricco, 2008
- Effetto Moto - Dinamica e Tecnica della Motocicletta, Gaetano Cocco, Giorgio Nada Editore, 2008
- Appendici - Motori ad Alta Potenza Specifica, Giacomo Augusto Pignone, Ugo Romolo Vercelli, Giorgio Nada Editore, 1995
- On the Braking Behaviour of Motorcycles, Vittore Cossalter, Roberto Lot, Fabiano Maggio, 2004
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